KMP 算法¶
什么是 KMP 算法：
KMP 是三位大牛：D.E.Knuth、J.H.Morris 和 V.R.Pratt 同时发现的。其中第一位就是《计算机程序设计艺术》的作者！
KMP 算法要解决的问题就是在字符串（也叫主串）中的模式（pattern）定位问题。说简单点就是我们平时常说的关键字搜索。模式串就是关键字（接下来称它为 P），如果它在一个主串（接下来称为 T）中出现，就返回它的具体位置，否则返回 -1（常用手段）。
暴力破解法¶
首先，对于这个问题有一个很单纯的想法：从左到右一个个匹配，如果这个过程中有某个字符不匹配，就跳回去，将模式串向右移动一位。
我们可以这样初始化：之后我们只需要比较 i 指针指向的字符和 j 指针指向的字符是否一致。如果一致就都向后移动，如果不一致，A 和 E 不相等，那就把 i 指针移回第 1 位（假设下标从 0 开始），j 移动到模式串的第 0 位，然后又重新开始这个步骤。
基于这个想法我们可以得到以下的程序：
/**
* 暴力破解法
* @param ts 主串
* @param ps 模式串
* @return 如果找到，返回在主串中第一个字符出现的下标，否则为-1
*/
public static int bf(String ts, String ps) {
char[] t = ts.toCharArray();
char[] p = ps.toCharArray();
int i = 0; // 主串的位置
int j = 0; // 模式串的位置
while (i < t.length && j < p.length) {
if (t[i] == p[j]) { // 当两个字符相同，就比较下一个
i++;
j++;
} else {
i = i - j + 1; // 一旦不匹配，i后退
j = 0; // j归0
}
}
if (j == p.length) {
return i - j;
} else {
return -1;
}
}
上面的程序是没有问题的，但不够好！
如果是人为来寻找的话，肯定不会再把 i 移动回第 1 位，因为主串匹配失败的位置前面除了第一个 A 之外再也没有 A 了。我们为什么能知道主串前面只有一个 A？因为我们已经知道前面三个字符都是匹配的！（这很重要）。移动过去肯定也是不匹配的！有一个想法：i 可以不动，我们只需要移动 j 即可。
上面的这种情况还是比较理想的情况，我们最多也就多比较了一次。但假如是在主串 SSSSSSSSSSSSSA 中查找 SSSSB，比较到最后一个才知道不匹配，然后 i 回溯，这样的效率显然是最低的。
大牛们是无法忍受"暴力破解"这种低效手段的，于是他们三个研究出了 KMP 算法。其思想就如同我们上边所看到的一样：
利用已经部分匹配这个有效信息，保持 i 指针不回溯，通过修改 j 指针，让模式串尽量地移动到有效的位置。
所以，整个 KMP 的重点就在于：当某一个字符与主串不匹配时，我们应该知道 j 指针要移动到哪？
j 的移动规律¶
当匹配失败时，j 要移动的下一个位置 k，存在着这样的性质：最前面的 k 个字符和 j 之前的最后 k 个字符是一样的。
如果用数学公式来表示：
P[0 ~ k-1] == P[j-k ~ j-1]
为什么可以直接将 j 移动到 k 位置？
因为：
当 T[i] != P[j] 时
有 T[i-j ~ i-1] == P[0 ~ j-1]
由 P[0 ~ k-1] == P[j-k ~ j-1]
必然：T[i-k ~ i-1] == P[0 ~ k-1]
这一段只是为了证明我们为什么可以直接将 j 移动到 k，而无须再比较前面的 k 个字符。
next 数组¶
怎么求这个 k 呢？因为在 P 的每一个位置都可能发生不匹配，也就是说我们要计算每一个位置 j 对应的 k，所以用一个数组 next 来保存，next[j] = k，表示当 T[i] != P[j] 时，j 指针的下一个位置。
很多教材或博文在这个地方都是讲得比较含糊，甚至就是贴一段代码上来，为什么是这样求？怎么可以这样求？根本就没有说清楚。而这里恰恰是整个算法最关键的地方。
next 数组的推导¶
next[j] 的值（也就是 k）表示当 P[j] != T[i] 时，j 指针的下一步移动位置。
- 当 j 为 0 时：如果这时候不匹配，j 已经在最左边了，不可能再移动了，这时候应该是 i 指针后移。所以在代码中才会有
next[0] = -1这个初始化。 - 当 j 为 1 时：j 指针一定是后移到 0 位置，因为它前面也就只有这一个位置了。
最重要的规律：
当 P[k] == P[j] 时，有 next[j+1] == next[j] + 1
证明：
因为在 P[j] 之前已经有 P[0 ~ k-1] == P[j-k ~ j-1]。（next[j] == k）
这时候现有 P[k] == P[j]，
可以得到 P[0 ~ k-1] + P[k] == P[j-k ~ j-1] + P[j]
即：P[0 ~ k] == P[j-k ~ j]
即 next[j+1] == k + 1 == next[j] + 1
如果 P[k] != P[j] 呢？
这时候需要执行 k = next[k]。因为我们已经不可能找到最长的前缀后缀串了，但还是可能找到更短的前缀串。这个过程就像在定位一个串，当字符和主串不一样了，那当然是把指针移动到 next[k]。
next 数组的代码实现¶
流传最广的实现：
public static int[] getNext(String ps) {
char[] p = ps.toCharArray();
int[] next = new int[p.length];
next[0] = -1;
int j = 0;
int k = -1;
while (j < p.length - 1) {
if (k == -1 || p[j] == p[k]) {
next[++j] = ++k;
} else {
k = next[k];
}
}
return next;
}
缺陷与优化¶
上边的算法存在一个缺陷。例如，当得到的 next 数组为 [-1, 0, 0, 1] 时，下一步会把 j 移动到第 1 个元素。但这一步是完全没有意义的——因为后面的 B 已经不匹配了，那前面的 B 也一定是不匹配的。
发生问题的原因在于 P[j] == P[next[j]]，所以只需要添加一个判断条件即可：
public static int[] getNext(String ps) {
char[] p = ps.toCharArray();
int[] next = new int[p.length];
next[0] = -1;
int j = 0;
int k = -1;
while (j < p.length - 1) {
if (k == -1 || p[j] == p[k]) {
if (p[++j] == p[++k]) { // 当两个字符相等时要跳过
next[j] = next[k];
} else {
next[j] = k;
}
} else {
k = next[k];
}
}
return next;
}
KMP 算法完整实现¶
有了 next 数组之后，我们可以动手写 KMP 算法了：
public static int KMP(String ts, String ps) {
char[] t = ts.toCharArray();
char[] p = ps.toCharArray();
int i = 0; // 主串的位置
int j = 0; // 模式串的位置
int[] next = getNext(ps);
while (i < t.length && j < p.length) {
if (j == -1 || t[i] == p[j]) { // 当j为-1时，要移动的是i，当然j也要归0
i++;
j++;
} else {
// i不需要回溯了
j = next[j]; // j回到指定位置
}
}
if (j == p.length) {
return i - j;
} else {
return -1;
}
}
和暴力破解相比，就改动了几个地方。其中最主要的一点就是：i 不需要回溯了。
总结¶
KMP 算法的核心思想是利用已经部分匹配的信息，通过 next 数组让模式串尽可能多地移动到有效位置，从而避免主串指针的回溯，将时间复杂度从暴力法的 O(n×m) 优化到 O(n+m)。