贪心算法详解¶
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顾名思义，贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。
当然，希望贪心算法得到的最终结果也是整体最优的。虽然贪心算法不能对所有问题都得到整体最优解，但对许多问题它能产生整体最优解。如单源最短路经问题，最小生成树问题等。
在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，其最终结果却是最优解的很好近似。
基本思路：
1.建立数学模型来描述问题。
2.把求解的问题分成若干个子问题。
3.对每一子问题求解，得到子问题的局部最优解。
4.把子问题的解局部最优解合成原来解问题的一个解。
实现该算法的过程：
1.从问题的某一初始解出发;
2.while 能朝给定总目标前进一步 do
3.求出可行解的一个解元素;
4.由所有解元素组合成问题的一个可行解。从问题的某一初始解出发
0-1背包问题
有一个背包，最多能承载150斤的重量，现在有7个物品，重量分别为[35, 30, 60, 50, 40, 10, 25]，它们的价值分别为[10, 40, 30, 50, 35, 40, 30]，应该如何选择才能使得我们的背包背走最多价值的物品？
把物品一个个的往包里装，要求装入包中的物品总价值最大，要让总价值最大，就可以想到怎么放一个个的物品才能让总的价值最大，因此可以想到如下三种选择物品的方法，即可能的局部最优解：
①：每次都选择价值最高的往包里放。
②：每次都选择重量最小的往包里放。
③：每次都选择单位重量价值最高的往包里放。
①：选择价值最高的，按照制订的规则（价值）进行计算，顺序是：4 2 6 5 。
最终的总重量是：130。
最终的总价值是：165。
②：选择重量最小的，按照制订的规则（重量）进行计算，顺序是：6 7 2 1 5 。
最终的总重量是：140。
最终的总价值是：155。
可以看到，重量优先是没有价值优先的策略更好。
③:选择单位密度价值最大的，按照制订的规则（单位密度）进行计算，顺序是：6 2 7 4 1。
最终的总重量是：150。
最终的总价值是：170。
可以看到，单位密度这个策略比之前的价值策略和重量策略都要好。
单源最大路径问题
给定带权有向图G =(V,E)，其中每条边的权是非负实数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源。现在要计算从源到所有其它各顶点的最短路长度。
这里路的长度是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。
Dijkstra算法是解单源最短路径问题的贪心算法。
其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。
一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。
初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。
Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist作必要的修改。
一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其它顶点之间的最短路径长度。
例如，对下图中的有向图，应用Dijkstra算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径的过程列在下表中。
Dijkstra算法的迭代过程：
2、算法的正确性和计算复杂性
(1)贪心选择性质
(2)最优子结构性质
(3)计算复杂性
对于具有n个顶点和e条边的带权有向图，如果用带权邻接矩阵表示这个图，那么Dijkstra算法的主循环体需要O(n)时间。
这个循环需要执行n-1次，所以完成循环需要O(n)时间。算法的其余部分所需要时间不超过O(n^2)。
代码实现(来自于第四个参考链接)：
#include <iostream>#include <vector>#include <limits>using namespace std ;
class BBShortestDijkstra{public: BBShortestDijkstra (const vector<vector<int> >& vnGraph) :m_cnMaxInt (numeric_limits<int>::max()) { m_vnGraph = vnGraph ; m_stCount = vnGraph.size () ; m_vnDist.resize (m_stCount) ; for (size_t i = 0; i < m_stCount; ++ i) { m_vnDist[i].resize (m_stCount) ; } } void doDijkatra (){ int nMinIndex = 0 ; int nMinValue = m_cnMaxInt ; vector<bool> vbFlag (m_stCount, false) ; for (size_t i = 0; i < m_stCount; ++ i) { m_vnDist[0][i] = m_vnGraph[0][i] ; if (nMinValue > m_vnGraph[0][i]) { nMinValue = m_vnGraph[0][i] ; nMinIndex = i ; } }
vbFlag[0] = true ; size_t k = 1 ; while (k < m_stCount) { vbFlag[nMinIndex] = true ; for (size_t j = 0; j < m_stCount ; ++ j) { // 没有被选择 if (!vbFlag[j] && m_vnGraph[nMinIndex][j] != m_cnMaxInt ) { if (m_vnGraph[nMinIndex][j] + nMinValue < m_vnDist[k-1][j]) { m_vnDist[k][j] = m_vnGraph[nMinIndex][j] + nMinValue ; } else { m_vnDist[k][j] = m_vnDist[k-1][j] ; } } else { m_vnDist[k][j] = m_vnDist[k-1][j] ; } } nMinValue = m_cnMaxInt ; for (size_t j = 0; j < m_stCount; ++ j) { if (!vbFlag[j] && (nMinValue > m_vnDist[k][j])) { nMinValue = m_vnDist[k][j] ; nMinIndex = j ; } } ++ k ; }
for (int i = 0; i < m_stCount; ++ i) { for (int j = 0; j < m_stCount; ++ j) { if (m_vnDist[i][j] == m_cnMaxInt) { cout << "maxint " ; } else { cout << m_vnDist[i][j] << " " ; } } cout << endl ; } }private: vector<vector<int> > m_vnGraph ; vector<vector<int> > m_vnDist ; size_t m_stCount ; const int m_cnMaxInt ;} ;
int main(){ const int cnCount = 5 ; vector<vector<int> > vnGraph (cnCount) ; for (int i = 0; i < cnCount; ++ i) { vnGraph[i].resize (cnCount, numeric_limits<int>::max()) ; } vnGraph[0][1] = 10 ; vnGraph[0][3] = 30 ; vnGraph[0][4] = 100 ; vnGraph[1][2] = 50 ; vnGraph[2][4] = 10 ; vnGraph[3][2] = 20 ; vnGraph[3][4] = 60 ;
BBShortestDijkstra bbs (vnGraph) ; bbs.doDijkatra () ;}
找零钱问题
假设你开了间小店，不能电子支付，钱柜里的货币只有 25 分、10 分、5 分和 1 分四种硬币，如果你是售货员且要找给客户 41 分钱的硬币，如何安排才能找给客人的钱既正确且硬币的个数又最少？
这里需要明确的几个点：
1.货币只有 25 分、10 分、5 分和 1 分四种硬币；2.找给客户 41 分钱的硬币；3.硬币最少化
这个步骤可以分解为：
1.找给顾客sum_money=41分钱，可选择的是25 分、10 分、5 分和 1 分四种硬币。能找25分的，不找10分的原则，初次先找给顾客25分；2.还差顾客sum_money=41-25=16。然后从25 分、10 分、5 分和 1 分四种硬币选取局部最优的给顾客，也就是选10分的，此时sum_money=16-10=6。重复迭代过程，还需要sum_money=6-5=1,sum_money=1-1=0。至此，顾客收到零钱，交易结束；3.此时41分，分成了1个25，1个10，1个5，1个1，共四枚硬币。
按照上述的方式，我们可以得到一个分硬币的最优解，但是再考虑一下同样的分硬币问题：
还是需要找给顾客41分钱，现在的货币只有 25 分、20分、10 分、5 分和 1 分四种硬币；该怎么办？
按照贪心算法的三个步骤：
1.41分，局部最优化原则，先找给顾客25分；2.此时，41-25=16分，还需要找给顾客10分，然后5分，然后1分；3.最终，找给顾客一个25分，一个10分，一个5分，一个1分，共四枚硬币。
可以根据这种策略得到一个解，但是该问题是不是最优的解？显然并不是的，因为如果给他2个20分，加一个1分，三枚硬币就可以了。
所以这里就突出了贪心算法的一个问题：不从总体上考虑其它可能情况，每次选取局部最优解，不再进行回溯处理，所以很少情况下得到最优解。
贪心算法三个核心问题
第一个问题：为什么不直接求全局最优解?
1、原问题复杂度过高；
2、求全局最优解的数学模型难以建立；
3、求全局最优解的计算量过大；
4、没有太大必要一定要求出全局最优解，“比较优”就可以。
第二个问题：如何把原问题分解成子问题？
1、按串行任务分
时间串行的任务，按子任务来分解，即每一步都是在前一步的基础上再选择当前的最优解。
2、按规模递减分
规模较大的复杂问题，可以借助递归思想（见第2课），分解成一个规模小一点点的问题，循环解决，当最后一步的求解完成后就得到了所谓的“全局最优解”。
3、按并行任务分
这种问题的任务不分先后，可能是并行的，可以分别求解后，再按一定的规则（比如某种配比公式）将其组合后得到最终解。
第三个问题：如何知道贪心算法结果逼近了全局最优值？
这个问题是不能量化判断的，正是因为全局最优值不能够知道，所以才求的局部最优值。追求过程需要考虑以下几个问题:
成本
耗费多少资源，花掉多少编程时间。
速度
计算量是否过大，计算速度能否满足要求。
价值
得到了最优解与次优解是否真的有那么大的差别，还是说差别可以忽略。
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